Cálculo de la Dimensión Fractal

Membrane 2, by Myriam B. Mahiques

Teóricamente, las formas que tienen la misma rugosidad, debieran tener un comportamiento similar. Y si podemos visualizar la forma, podemos comprender el sistema.

La geometría fractal cuantifica la rugosidad de los objetos mediante un índice llamado “dimensión fractal”. Normalmente consideramos que los puntos tienen dimensión 0, las líneas 1, las superficies 2 y los volúmenes 3. Es lo que llamamos “dimensión topológica”.

Sin embargo, una curva rugosa, que recorre una superficie puede ser tan rugosa que casi llene la superficie en la que se encuentra. El follaje de un árbol o el interior de un pulmón pueden ser entonces tridimensionales. Podemos así pensar que la rugosidad es un incremento de la dimensión: una curva rugosa tiene una dimensión entre 1 y 2 y una superficie rugosa entre 2 y 3.

Líneas y planos son autosimilares y pueden cortarse –por ejemplo- en 4 segmentos de intervalos autosimilares, cada uno de la misma longitud, y cada uno de los cuales puede ser magnificado por un valor 4 del segmento original. Pero también podemos cortarlos en N partes autosimilares, cada uno con un factor de magnificación N.

Tomemos un cuadrado. Lo descomponemos en 4 sub cuadrados autosimilares y el factor de magnificación es 2. Si lo cortamos en 9 piezas, el factor de magnificación será 3, y si se corta en 25, el factor de magnificación será 5.

Estos esquemas han sido bajados de Internet.

Esta es una forma alternativa de especificar la dimensión de un objeto autosimilar. La dimensión es el exponente del número de piezas autosimilares con un factor de magnificación N, en el que la figura puede ser partida. O sea,

D= log (número de piezas autosimilares)/ Log (factor de magnificación)
D= log N2 /Log N
D= 2 Log N/Log N=2
La fórmula matemática más común es la que corresponde a Hausdorff-Besicovitch:

donde N es el número de partes idénticas en que se ha dividido el objeto auto-semejante y r es la relación de las partes con el todo.

Similarmente, la dimensión de un cubo es:

D= log N3 /Log N

D= 3 Log N/Log N=3

Hay varios métodos manuales para el cálculo de la dimensión fractal; si el fractal es muy complejo, se utilizan computadoras.

Un dibujo, un esquema, un plano, una fotografía pueden ser útiles. Y ayudarán a desarrollar nuestra intuición en búsqueda de pruebas.

Comparativamente, si un fractal se mide en un número de iteraciones, para una estructura empírica tomaremos progresivas variaciones de medida (con la aplicación de un factor de escala). Un fractal determinista, en cualquier escala de observación, dará el mismo valor de Dimensión Fractal, o sea, es perfectamente autosimilar. Pero, una morfología urbana no es un fractal determinista; con lo que la comprobación de autosimilitud no registrará valores de D idénticos, pero podemos inferir, al encontrar valores similares, que “la forma muestra propiedades análogas a la autosimilitud fractal”.